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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

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6.18. Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
a) A={0≤y≤x2;x≤2}A=\left\{0 \leq y \leq x^{2} ; x \leq 2\right\}

Respuesta

En este problema tenemos dos funciones involucradas (le ponemos nombre jeje)

f(x)=x2f(x) = x^2 y g(x)=0g(x) = 0

Y además nos imponen un límite de integración, x=2x=2. 

(Aclaro todo esto porque la manera en la que está escrita el enunciado puede confundir)

Entonces, vamos a seguir los pasos que vimos en las clases de cálculo de áreas:

1) Buscamos los puntos de intersección entre ff y gg

x2=0x^2 = 0

x=0x = 0

Por lo tanto, ffy gg se intersecan en x=0x=0.

2) Nos fijamos quién es techo y quién es piso

En este caso nos quedó delimitado el intervalo (0,2)(0,2). Si evaluamos ff y gg en cualquier punto de ese intervalo, es re fácil ver que ff va a ser techo y gg va a ser piso. 

De hecho, esto coincide con lo que nos dice el enunciado 0≤y≤x20 \leq y \leq x^{2}

3) Planteamos el integral del área

A=∫02(f(x)−g(x)) dx=∫02(x2−0) dxA = \int_{0}^{2} (f(x) - g(x)) \,dx = \int_{0}^{2} (x^2 - 0) \,dx

4) Calculamos la integral:

 ∫02x2 dx=x33  ∣02=233−0=83\int_{0}^{2} x^2 \,dx = \frac{x^3}{3}  \Big|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - 0 = \frac{8}{3}

Por lo tanto, el área encerrada es 83\frac{8}{3}
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